فصل ٤ انتگرال کند. در چنین روشی برای محاسبه دایره از درج چندضلعیهای منتظم در درون دایره استفاده میشود

Transcript

1 فصل ٤ انتگرال ٤ ١ مسأله مساحت فرمولهای مربوط به مساحت چندضلعیها نظیر مربع مستطیل مثلث و ذوزنقه از زمانهای شروع تمدنهای نخستین به خوبی شناخته شده بوده است. با اینحال مسأله یافتن فرمولی برای بعضی نواحی که با مرزهای منحنیالخط هستند )که دایره سادهترین آنهاست( برای ریاضیدانان اولیه در خور مشکالتی بوده است. اولین پیشرفت واقعبینانه محاسبه چنین مساحتهایی توسط ریاضیدان یونانی به نام ارشمیدس صورت گرفت. ارشمیدس توانست مساحت ناحیههایی با مرزهای محدود به قوسهای دایره سهمی و منحنیهای دیگر را با استفاده از روش خارقالعادهای که امروزه به روش ا فنا مشهور است محاسبه کند. در چنین روشی برای محاسبه دایره از درج چندضلعیهای منتظم در درون دایره استفاده میشود و تعداد اضالع این چندضلعیها متوالیا زیاد و زیادتر شده و به نحو نامحدودی افزایش مییابد )شکل ٤ ( جدول و شکل ٤ ١ هرچه تعداد اضالع چندضلعی بیشتر شود مساحت چندضلعی به مساحت دایره نزدیک و نزدیک تر می گردد ٤7 00.٤ ٤69850 ٤00.٤٤6٤ ٤ ٤ 000.٤ ٤587٤ ٤ ٤000.٤ ٤ ٤59٤٤688

2 همچنان که تعداد اضالع چنین چندضلعیهایی افزایش مییابد چندضلعی به پرکردن ناحیه درون دایره متمایل شد و در نتیجه مساحت این چندضلعیها تقریبهای بهتر و بهتری از مساحت دقیق دایره به دست میدهد. برای آنکه مالحظه کنیم که چگونه این روش کار میکند فرض میکنیم A)( نمایش مساحت چندضلعی با ضلع بوده باشد که درون دایره به شعاع واحد محاط شده است. جدول ٤ مقادیر A)( را برای انتخابهای مختلف نشان میدهد. میبینیم که برای مقادیر بزرگ مساحت A)( ظاهرا به عدد π نزدیک میگردد و این چیزی است که انتظارش را داریم. این تجربه به ما میگوید که برای مساحت دایرهای به شعاع میتوانیم روش افنا را معادل تساوی حدی ارزیابی کنیم. li A() =π اما یونانیان باستان از مفهوم»بینهایت«خوششان نمی آمد و لذا در بررسی های مربوط به ریاضیات از آن احتراز می کردند در نتیجه محاسبه مساحت با استفاده از روش افنا یک فرایند سرانگشتی به حساب می آمد. در واقع این روش تا زمان نیوتن و الیبنیتز باقی ماند کسانی که روشی کلی برای محاسبه مساحت با استفاده ضمنی از مفهوم حد ارائه کردند. ما روش این دانشمندان را در بررسی مسأله زیر به کار خواهیم گرفت. مسأله مساحت : با داشتن تابع پیوسته و نامنفی f که بر بازه ]b a[. تعریف شده است مساحت بین نمودار f و بازه ]b a[. بر محور را پیدا کنید )شکل ٤ ( پرسش: همچنان که در شکل ٤ مالحظه میکنیم تعدادی چندضلعی منتظم در درون دایره به شعاع واحد محاسبه شدهاند. در جدول سمت راست برای مقادیر بزرگ که تعداد اضالع چندضلعی را نشان میدهد مساحت چندضلعیها با نماد A)( نشان داده شده است. آیا میتوان گفت که وقتی بزرگ و بزرگتر میشود مساحت ضلعی محاطی با مساحت دایره برابر میگردد به زبان دنبالهها برای هر A)( که مساحت ضلعی است عددی است حقیقی. در نتیجه = {A)(} دنبالهای از اعداد حقیقی است که جمله ام آن مساحت ضلعی منتظم محاط در درون دایره است. میدانیم که مساحت دایره S = πr = π * = π میباشد. آیا به زبان حدی میتوانیم بگوییم که: li A() =π + حساب دیفرانسیل و انتگرال

3 y y = f() 0 a b شکل ٤ ٢ ناحیه تحت نمودار تابع f محدود به محور و دو خط = a و = b ما در این فصل به مطالعه و بررسی مسأله مساحت می پردازیم و لذا از این طریق مفهوم مهم انتگرال معین را فرمول بندی خواهیم کرد. ام ا ذکر این نکته نیز جالب است که گرچه انتگرال در رابطه با مسأله مساحت مفهوم سازی شده است لکن از این مفهوم برای بررسی و مطالعه مسأله های دیگری در ریاضیات فیزیک و سایر علوم دقیقه استفاده می شود نظیر مسأله پتانسیل الکتریکی مسأله کار انجام شده توسط نیروها مطالعه و تعیین معادله مسیر متحرک ها با استفاده از سرعت های داده شده و نظایر این ها. قبل از آن که به مطالعه و بررسی مساحت بپردازیم الزم است با مجموع های متناهی و نماد سیگما آشنا شویم. مجموع ها و نماد سیگما: در محاسبه و مطالعه مساحت ها که در بخش بعدی با آن درگیر می شویم با مجموع هایی متناهی از مقدارهای یک تابع سروکار خواهیم داشت. در این بخش برآنیم تا نماد مناسبی برای نمایش یک مجموع با تعداد متناهی جمله معرفی کنیم. همچنین به روش هایی برای محاسبه حاصل جمع چنین مجموع هایی محتاج خواهیم بود. از نماد Σ )سیگما( برای نمایش یک مجموع استفاده می کنیم. تعریف : ١ نماد سیگما هرگاه و دو عدد صحیح و همچنین f تابعی باشد که بر اعدادصحیح (i) f تعریفشدهباشد نمادΣ نشانگرحاصلجمعمقادیرتابعf درایناعداد f(i) = f() + f( + ) + + f() میباشد: مجموع سمت راست این تساوی بسط مجموع تأثیر داده شده با سیگمای سمت چپ نامیده می شود.

4 5 i = = 55 مثال : حرف i ظاهر شده در نماد (i) f را اندیس جمعبندی مینامیم. اندیس i را با اعداد متوالیا جایگزین پس برای محاسبه (i) f کرده و مقادیر حاصله را جمع میکنیم. مالحظه میکنیم که مقدار حاصل جمع به اندیس جمعبندی بستگی ندارد چرا که این اندیس در سمت راست تعریف وجود ندارد. f(i) = f(k) برای هر k: k= 5 k = = 55 k= لکن حاصل جمع (i) f به دو عدد جمع و بستگی تام دارد این دو عدد را حدود جمعبندی مینامیم را حد پایین و را حد باال مینامیم. 0 j = j= 0 i 0 = = بار = = k k= مثال : نمایش حاصل جمع ها با استفاده از نماد سیگما نکته : در اکثر اوقات بهجای استفاده از نماد تابعی) i ( f از یک متغیر اندیسدار مانند a i برای نمایش جمله iام یک حاصل جمع عمومی استفاده میکنیم: a = a + a + a + + a i + + به خصوص وقتی تعداد جمالت نامتناهی باشد. چنین مجموعی را یک سری نامتناهی می نامیم: a = a + a + a + i حساب دیفرانسیل و انتگرال ٤

5 پس وقتی جمله ای به عنوان جمله آخر به دنبال سه نقطه نمی آید باید این معنی را داشته باشد که جمالت برای همیشه و به طور نامتناهی ادامه دارند. پرسش: اکنون این پرسش پیش می آید که وقتی تعداد جمالت متناهی باشد استفاده از نماد سیگما چه ویژگی هایی دارد چون نماد سیگما تعمیم عمل جمع به تعداد متناهی جمله است پس ویژگی های اساسی عمل جمع را به ارث می برد. برای مثال وقتی تعداد متناهی عدد را جمع می کنیم ترتیب قرار گرفتن جمالت تأثیری در مقدار حاصل جمع ندارد و یا آنکه هرگاه همه جمالت دارای عامل مشترک باشند این عامل مشترک را می توان از جمالت جدا کرده و به صورت فاکتور ضرب در نماد سیگما لحاظ کرد همانند وقتی که تعداد جمالت فقط جمله است: b( ca + cb = c)a + لذا قوانین اولیه حساب ویژگی هایی به نماد سیگما می دهد که اینک اهم آن را بیان می کنیم. (Af (i) + Bg(i)) = A f (i) + B g(i) الف( که B A اعدادی ثابت و مستقل از اندیس i هستند. + و ( f i) + دارای یک بسط هستند در واقع هر یک برابر ب( دو عبارت (i) f o ( f )( + f ) + ( f ) + هستند )امتحان کنید!(. پس + f (i) = f (i + ) د( این قانون را قانون لغزاندان اندیس ها می نامیم. را به صورت o بنویسید. f (i) 7 مثال : i + حل : باید در عبارت داده شده اندیس های پایین و باال را واحد کم کنیم تا اندیس پایین از شروع گردد در عین حال به همان مقدار یعنی واحد به اندیس عبارت تحت Σ باید اضافه کنیم: نکته : مالحظه کنید که تمرین در کالس i = + (i + ) )چرا ( f (i) = f (i) f (i) + بنویسید. f (i) اکنون شما عبارت را به صورت (b + i) a+ 5

6 محاسبه مجموعها: وقتی یک مجموع مانند =S =i داده میشود که درگیر تعداد زیادی جمله میباشد داشتن فرمولی که مقدار این مجموع را به شکلی بسته نشان دهد بسیار ضروری میباشد. منظورمان از شکل بسته چنین فرمولی آن است که از شکل بسط آن )شامل سه نقطه( استفاده ( + ) میباشد. نشده باشد. برای مجموع باال فرمول بهصورت S= دانش آموزان در این مورد خاص مشکلی ندارند. می توانید به شکل زیر عمل کنید. S = ) - ( + S = + ) - ( + ) - ( پس جمع را یک بار به صورت معمولی به جلو هریک بار به صورت عقب گرد نوشته ایم. دو ردیف را همچنان که زیر هم نوشته شده اند با هم جمع می کنیم: S = ) + ( + ) + ( + ) + ( ) + ( + ) + ( = ) + ( فرمول S فوق االشاره با تقسیم طرفین تساوی اخیری بر به دست می آید. ام ا همیشه محاسبه یک مجموع و یافتن فرمولی برای آن به این آسانی نخواهد بود. این مسأله یکی از مسأله های چالش برانگیز در مباحث ریاضیات است. لیکن چنین فرمول هایی که در بخش بعدی بدان نیاز داریم فرمول هایی سرراست و ساده بوده که در قضیه بعدی گردآوری شده اند. قضیه : ١ فرمول های جمع بندی = = الف( ( + ) = ( + )( + ) i = = 0 6 i r r = + r + r + r + + r =, (r ) r ب( ج( د( برهان : الف( بدیهی است حاصل جمع بار عدد برابر است. یک راه حل برای )ب( قبال ارایه گردید. برای اثبات )ج( بار اتحاد زیر را )k + ( - k = k + k + 6 حساب دیفرانسیل و انتگرال

7 به ازای هر k که k نوشته و جمع می کنیم. k = = + + k = k = 4 = = k = ( ) = ( ) + ( ) + k = ( + ) = + + ( + ) ( + ) = ( i ) + + با استفاده از )ب( از تساوی اخیر به دست می آید. i در نتیجه به آسانی ( + ) i = ( + ) ( + ) = + + ( + + ) ( + ) ( + )( + ) i = = 6 د( همان مجموع جمالت یک دنباله هندسی با قدرنسبت r می باشد که از قبل با آن آشنایی دارید. در برهان قسمت ج قسمتهای سمت چپ تساوی را باهم جمع کردیم و هر جمله اول یک تساوی با جمله دوم تساوی بعدی حذف گردید )به دلیل قرینه بودن( و از همه جمالت فقط جمله اول تساوی ام )آخر( و جمله دوم تساوی اول باقی ماندند که همان عبارت - ) + ( سمت چپ حاصل جمع تساوی ظاهر گردید. در واقع میتوانستیم ازنمادسیگما استفادهکنیم: هرعبارت درسمت چپ بهشکل کلی k( + ) - k استکه در آن k. پس جمع آن به شکل ) k ((k + ) است. اما حاصل k= آن با حذف جمالت قرینه برابر - ) + ( شد. بنابراین: ((k + ) k ) = ( + ) )( k= فعالیت 7

8 فعالیت این یک مثال از حالت کلی جمعی است که جمع تلسکوپی نامیده میشود. فرم جمع تلسکوپی بهصورت کلی: (f(i + ) f(i)) = f( + ) f() )( میباشد زیرا همه جمالت آن بهجز اولی و آخری حذف میشوند. قاعده جمع تلسکوپی را برخی قاعده ادغام نیز مینامند. ابتدا تساوی )( را به استقراء ثابت کنید. سپس )( را به استقراء ابتدا از ثابت کنید. ( k k + ) k= + مثال : محاسبه کنید: 6 4 که در آن حل : از قواعد جمع بندی و فرمول های قضیه قبل استفاده می کنیم: ( 6k 4k + ) = 6 k 4 k+ k= k= k= k= ( + )( + ) ( + ) = = + + بنابراین ) + 4k ( 6k 4k + ) = ( 6k 4k + ) ( 6k k= + k= k= = + + برای مثال: نکته : برنامه ریزی میپل Maple( ) شکل بسته فرمولی برخی از جمع ها را به دست می دهد. > Su(i 4,i = 00 );factor(%); = ( + ) 5 ( + ) 4 + ( + ) = ( + )( + )( + ) 0 حساب دیفرانسیل و انتگرال 8

9 مسا ئل در تمرین های 8 جمع را بسط دهید: 4 i j j + 00 j= j j= ٤ i = i ( ) i + 5 ( ) (i + ) i = i 6 j= j k π si = k 8 k = k e k 7 جمع های زیر را با استفاده از ن ماد بنویسید.)متذکر می شویم که جواب منحصر به فرد نمی باشد( 00( بار( ٤ ٤ ٤ ( ) ٤ مساحت به عنوان حد مجموع در فصل با استفاده از تعریف حد مماس بر یک منحنی خاص به مطالعه و بررسی مشتق پرداختیم. در اینجا نیز بیشتر دوست داشتیم تا با استفاده از تعریفی از مساحت یک ناحیه در صفحه به مطالعه انتگرال بپردازیم. ام ا ارائه تعریفی از مساحت بسیار مشکل تر از تعریفی برای مماس است. بنابراین فرض می کنیم که منظورمان از مساحت به گونه ای ملموس بر ما معلوم بوده و از این رو برخی از ویژگی های آن را یادآوری می شویم. الف( مساحت یک ناحیه در صفحه عددی حقیقی و نامنفی برحسب واحدهای سطح )مربع ها( می باشد. ب( مساحت یک مستطیل با عرض w و ارتفاع h برابر A=wh است. ج( مساحت ناحیه های صفحه ای که برابر باشند یکی است. د( هرگاه ناحیه S درون ناحیه R باشد مساحت S کمتر از مساحت R است. 9

10 ه( هرگاه ناحیه R اجتماعی متناهی از ناحیه های مجزا باشد مساحت R برابر مجموع مساحت های این ناحیه های مجزا است. با استفاده از این ویژگی های شهودی مساحت می توانیم مساحت خیلی از اشکال هندسی را بررسی و یا محاسبه کنیم. شما در شکل های زیر می توانید بگویید که نتیجه حاصله که درزیر هر شکل نوشته شده است بر طبق کدام یک از ویژگی های )الف( )ه( می باشد. D C D C D C D D C C h h s R h h A w B A w B A w B A w B ABC = مساحت مثلث wh ABCD مساحت = w.h R مساحت > S مساحت ABC D مساحت = w.h 0 حساب دیفرانسیل و انتگرال مجموع مساحت مثلث ها مساوی مساحت چندضلعی شکل ٤ ویژگی مساحت ها ام ا فراتر از چندضلعیها نمیتوان رفت مگر آنکه از مفهوم حد کمک بگیریم. شما با مفهوم حد در سال قبل و همچنین در فصل این کتاب به خوبی آشنا شدهاید. هرگاه یک مساحت دارای مرزی منحنیوار بوده باشد محاسبه ساده آن فقط میتواند بهصورت تقریبی با استفاده از مساحت مثلثها و مستطیلها به دست آید محاسبه دقیق این گونه مساحتها محتاج محاسبه یک حد است. روش مستطیل برای محاسبه مساحت: در این بخش قصدمان این است که نشان دهیم چگونه میتوان مساحت یک ناحیه مانند R را که تحت نمودار تابع پیوسته و نامنفی )( y=f و محدود به دو خط قائم =b. =a است بهدست آوریم. برای این کار به طرز زیر عمل میکنیم. بازه ]b. a[ را به زیر بازه جزء با استفاده از نقاط افرازی a = 0 < < <... < - < = b )+( نقطه تقسیم میکنیم طول بازه iام,i] [ i را به i نشان میدهیم: i = i - i -. ) (

11 بر روی هر بازه جز,i] [ i مستطیلی با عرض i و ارتفاع ( i f ( میسازیم. پس مساحت این مستطیل برابر f ) i ( i می باشد. مجموع این مساحت ها را تشکیل می دهیم. در شکل ٤ ٤ مستطیل های مربوطه را یک تابع نزولی سایه زده ایم اگر تابع مان صعودی می بود نوک باالیی این مستطیل ها در باالی نمودار تابع قرار می گرفت. در حالی که در شکل نشان داده شده )تابع نزولی( این نوک ها در زیر نمودار قرار دارد. S = f ) ( + f ) ( f ) ( = f( ) i i i a = 0 i i b= شکل ٤ ٤ حاصل جمع مساحت مستطیلها برابر f( (i i است. واضح است که S تقریبی از مساحت ناحیه R است و با افزایش این تقریب به مقدار واقعی مساحت R نزدیکتر میشود مشروط بر آنکه نقاط 0 = a < < <... < = b را چنان انتخاب کنیم که عرض i ها نیز به صفر میل کند. برای مثال در شکل بعدی مالحظه میکنیم که تقسیم یک بازه جزء به دو بازه کوچکتر خطای این تقریب را با کاهش قسمتی از مساحت تحت نمودار که مشمول در مستطیلها شده است کاهش میدهد )شکل ٤ 5 (. y y = f() y y = f() Old error New error 0 a b 0 a b شکل ٤ 5 استفاده از مستطیل های بیشتر خطای محاسبه را کوچکتر می کند.

12 بنابراین برای یافتن مساحت R معقول آن است که حد دنباله S را وقتی به دست آوریم )با این شرط که طول بزرگترین i ها نیز به صفر میل کند(. R = li S مساحت نکته مهم: برای آنکه درحدگیری i ها همگی به صفر میل کنند اغلب اوقات مناسبتر آن است که طول همه بازههای جز مساوی اختیار شوند. در این صورت داریم: b a i = =, i i = a + i = a + (b a) که در آن چون همه i ها را مساوی اختیار کرده ایم و طول مشترک را به نشان داده ایم. از این نوع تقسیم بازه به بازه های جزء مساوی به عنوان افراز منظم یاد خواهیم کرد. معلوم است که در مورد افرازهای منظم وقتی 0, و دیگر نیازی به شرط آن که طول بزرگترین بازه جزء به صفر میل کند نمی باشد. محاسبه برخی مساحت ها: در این بخش به عنوان نمونه به محاسبه تقریبی برخی مساحت ها با استفاده از روش فوق می پردازیم. ابتدا با ناحیه ای شروع می کنیم که مساحت آن را از قبل می دانیم و از این راه بیشتر قانع می شویم که روش توصیف شده مان مقدار دقیق را به دست می دهد. مثال : مساحت ناحیه ای را بیابید که تحت خط مستقیم به معادله + y = بوده و محدود به خطوط 0= =, می باشد. حل : ناحیه مورد نظر در شکل زیر هاشور زده شده است. این ناحیه یک ذوزنقه است. به عالوه می دانیم که مساحت این ناحیه ٤ واحد سطح است )چرا (. اینک مساحت این ناحیه را به عنوان حد مجموع مساحت مستطیل هایی که به روش فوق ساخته می شوند به روش زیر می توانید حساب کنید. ١ بازه ]0,[ را به بازه جزء با طول مساوی تقسیم کنید: 0= 0, =, = 4, = 6,, = = i i + = + ٢ پس مقدار تابع + f () = در نقطه دلخواه i برابر است با و بازه جزء i ام دارای طولی برابر = i (i ) i, است. مالحظه می کنیم که مجموع مساحت های مستطیل های نشان داده در شکل ٤ 6 )الف( حساب دیفرانسیل و انتگرال

13 i S = ( + ) = i + ( + ) = ( ) + y y = + برابر است با: ناحیۀ مربوط به مثال ١ + = + )الف( y y = ناحیۀ مربوط به مثال ٢ شکل ٤ 6 )ب( 0 b b ( i)b b بنابراین مساحت A با حدگیری از این دنباله بهدست میآید. + واحد سطح 4 A = li S = li ( + ) = + = مثال : مساحت ناحیه ای را که محدود به سهمی y = و خطوط = 0 y =b<0 = 0 می باشد به دست آورید. حل : هرگاه مساحت ناحیه مورد بررسی را A بنامیم A برابر حد مجموعهای S )دنباله = S}( } مربوطبهمساحاتمستطیلهاینشاندادهشدهدرشکل ٤ 6 )ب(میباشد.بااستفادهازافرازمنظمیبا + ib است.بنابراین نقطهافرازی طولهریکازبازهایجز برابر b میشود.پسارتفاعمستطیلi امبرابر ) ( بنابرقضیه )ج( ib b b b ( + )( + ) = S = ( ) = i = 6

14 که از اینرو مساحت موردنظر با حدگیری بهدست میآید: واحد سطح تمرین در کالس ( + )( + ) b A = li S = li b = 6 با استفاده از اتحاد + ٤k + = ٤k + 6k ٤ - k ٤ ( )k + و قاعده تلسکوپی نشان دهید k k(k + ) i = ( ) مساحت ناحیه ای را که محدود به نمودار y = و خطوط = 0 y = b < 0. = 0. می باشد به دست آورید. )راهنمایی: از اتحاد به دست آمده در مسأله استفاده کنید( گرچه ممکن است به نظر باطل نما جلوه کند ام ا همه علوم دقیق )علوم محض( تحت تسلط ایده تقریب هستند. )برتراندراسل ریاضی دان انگلیسی( یک پرسش اساسی به لحاظ هندسی کامال مشهود است که مساحت تحت نمودار تابع f به شکل نمودار f بستگی دارد. نمودار هر تابع در واقع رفتار هندسی مقادیر تابع را نمایان میسازد. پس مقدار مس احت در مرحله اول به تابع موردنظر بستگی دارد. درمرحله بع د البته مقدار مساحت به بازه ]b. a[ که تابع در آن تعریف شده است یعنی خطوط = a و = b که مرزهای عمودی ناحیه را میسازند نیز بستگی خواهد داشت. برای آنکه بیشتر وارد جزئیات جبری مسأله شویم به مثال مراجعه میکنیم. مالحظه کردیم که مساحت ناحیه محدود به نمودار y = و خطوط = 0 و = b )یعنی بازه b[. )]0 برابر است با: برابر b A = پس هرگاه بخواهیم مساحت محدود به نمودار y = را با پایه ] 0. [حساب کنیم این مساحت A() = حساب دیفرانسیل و انتگرال ٤

15 خواهد شد. حال سؤال اساسی در این جا چنین است که مدل A(( چه رابطه ای با تابع y = دارد همین سؤال را در مورد مثال ١ نیز می توان مطرح کرد. در این جا + f () = و برای محاسبه مساحت آن بر بازه ]b, 0[ )به جای ]0,[ در مثال( داریم: b b b 0= 0, =, =,, = = b ib f( i) = i + = + ib b S = ( + ) b b = i + b b ( + ) = + داریم: ( + ) b = + b b + A(b) = li S = li + li b b = +b بنابراین: خواهد آمد: و با حدگیری به دست می آوریم: و هرگاه بخواهیم بازه ) a[, را منظور کنیم مساحت موردنظر به عنوان تابعی از به دست A() = + y y = f() A() 0 a شکل ٤ 7 وقتی a ثابت باشد A() به بستگی خواهد داشت. 5

16 برای هریک از توابع f مساحت A)( محصور به نمودار f و بازه ]. -[ را به دست آورید. سپس مشتق تابع A یعنی A )( را محاسبه کرده و با تابع f مقایسه کنید. الف( = )( f ب( + f )( = ج( + f )( = برای راهنمایی نمودار تابع f و بازه ]. -[ در هر مورد در شکل زیر نشان داده شده است. y y = y y فعالیت y = + y = + )الف( )ب( )ج( A)( یک مستطیل است A)( یک مثلث است A)( یک ذوزنقه است شکل ٤ 8 مسا ئل با استفاده از افرازهای مناسب همانند مثال های و این درس مساحت نواحی را که در تمرین های 7 آمده اند محاسبه کنید: ناحیه تحت y = باالی = 0 y از = 0 تا =. ناحیه تحت + y = باالی = 0 y از = 0 تا =. ناحیه تحت - y = باالی = 0 y از = تا =. ٤ ناحیه تحت + ٤ y = باالی = 0 y از - = تا =. 5 ناحیه تحت y = باالی = 0 y از = تا =. 6 ناحیه تحت + y = باالی = 0 y از = 0 تا < 0 a. = 7 ناحیه تحت + y = + باالی = 0 y از - = تا =. در تمرین های 8 مساحت ها را محاسبه کنید. به خاطر داشته باشید که مساحت همواره عددی مثبت خواهد بود. 8 ناحیه باالی - y = زیر = 0 y. حساب دیفرانسیل و انتگرال 6

17 9 ناحیه باالی y = - زیر = 0 y از = تا = ٤. 0 ناحیه باالی y = - زیر = 0.y ناحیه تحت + = ٤ - y باالی =.y مساحت ناحیه محدود به y = را که باالی محور بوده و بین خطوط = 0 و استفاده کنید.( ( + ) است بهدست آورید )راهنمایی از فرمول. = b < 0 i = 4 مساحت تحت منحنی به معادله = y را که باالی = 0 y و محدود به < 0 a = و = b < a است بهدست آورید. ٤ ٣ انتگرال معین هدفمان در این بخش تعمیم آن چیزی است که در بخش قبلی برای محاسبه مساحت ها به کار بردیم. با استفاده از چنین تعمیمی مفهوم انتگرال معین تابعی مانند f را که بر بازه I تعریف شده است تعریف می کنیم. دربخش قبلی با استفاده از روش مستطیل ها و تشکیل دنباله } S} و حدگیری به محاسبه مساحت پرداختیم. در این بخش برای محاسبه مساحت از دو راه وارد می شویم: از یک طریق مستطیل های کوچک را طوری انتخاب می کنیم که همگی زیر نمودار f واقع شوند و در طریق دیگر مستطیل های کوچک را طوری می گیریم که همگی باالی نمودار f قرار گیرند. این روش به ما این امکان را می دهد که با تقریبات نقصانی و همچنین تقریبات اضافی به مساحت تحت نمودار نگاه کنیم. در سرتاسر این بخش فرض می کنیم که تابع f کراندار باشد ام ا به این فرض که مقادیر f نامنفی باشند نیازی نخواهیم داشت. در واقع از ایده اولیه محاسبه مساحت عدول کرده و به تابع f بر بازه ]b a[. عددی وابسته خواهیم کرد که انتگرال معین f بر بازه ]b a[. نامیده خواهد شد. در این جا گرچه هنوز شهود و نگرش هندسی کمک ساز خواهد بود اما استدالل و فرایند جبری نقش مهم تری را عهده دار خواهد بود و این چاشنی تعمیم در ریاضیات است که به تجربه و جبر نقش اساسی تری می دهد تا با موارد مجردتر بهتر و مؤثرتر برخورد گردد. { فرض کنیم P افرازی از بازه ]b a[. باشد. بنابراین P مجموعه ای از اعداد } -i [ است به افراز. i. عدد که نشانگر تعداد بازه های جزء [ = b. 0 = a. i- < i است که در آن P بستگی دارد. درشت ترین افراز. بازه ]b a[. افرازی است که فقط شامل یک بازه جزء یعنی خود بازه ]b a[. است. در این 7

18 صورت عدد برابر است. هرچه تعداد نقاط افراز بیشتر باشد افراز ظریفتر خواهد بود و عدد افزایش خواهد یافت. ضمنا یادآوری میکنیم که عدد -i i = i - -i [ نیز پیوسته است پس. i طول بازه جزء i ام میباشد. چون تابع f بر هر بازه جزء [ ] i-. i ماکسیمم و مینیمم )مطلق( خود را در این بازه اختیار میکند. یعنی نقاطی مانند L i و U i از [ است که برای هر i- i و ( i f )L i ( f )( f )u هرگاه 0 )( f بر b[ ]a. آنگاه f )L i ( i و f )u i ( i نشانگر مساحت مستطیلهای با قاعده -i [ بوده که نوک مستطیل اول زیر نمودار f و نوک مستطیل دوم باالی نمودار f قرار. i )عرض( [ -i [ محدود به نمودار تابع f از A i بنامیم. i دارند )شکل ٤ 9 ( به عبارت دیگر هرگاه ناحیه با قاعده [ f L( i ) i نمایشگر مساحت مستطیلی است که درون A i محاط شده در حالی که f u( i ) i نمایشگر مساحت مستطیلی است که محیط بر A i میباشد. به زبان جبری: f )L i ( i A i f )u i ( i )( هرگاه f مقادیر منفی نیز اختیار کند آنگاه f L( i ) i و یا f u( i ) i و یا هردوی آنها ممکن است منفی باشند در چنین صورتی این عبارتها نمایشگر قرینه مساحت مستطیلی هستند که زیر محور واقع است در هر صورت که f همواره مقادیر نامنفی اختیار کند و یا مقادیر منفی نیز بگیرد نامساوی ( i f )L i ( f )u برقراربوده و لذا همواره f )L i ( i f )u i ( i برقرار است. مجموعهای باال و پایین: اکنون به تعریف مجموعهای باال و پایین میپردازیم. قبل از این برای سادهتر کردن نمادهایمان همواره فرض میکنیم که افراز چنان باشد که طول همه بازههای جزء حاصله مساوی باشند پس هرگاه افراز P شامل + نقطه بوده و در نتیجه بازه جزء پدید آورد طول هر بازه جزء برابر b a میباشد. اینگونه افرازها را افرازهای منظم مینامیم. عدد طبیعی مشخص کننده افرازی با + نقطه با طول بازهای جزء b a است. پس بهجای آنکه از افرازها به عنوان متغیر یاد کنیم از عدد طبیعی یاد میکنیم. در سرتاسر بحث f نمایشگر یک تابع است که در طول بحث ثابت فرض میشود. الف( مجموع پایین که با نماد )p L)f. و یا نماد سادهتر L نشان داده میشود چنین تعریف میگردد. L = f )l ( + f )l ( f )l ( L = f (l i) i یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال 8

19 y = f() i U i L i i ١-i ] را نشان می دهد., i f u( i متناظر با بازه جزء ] ( i f l( i و مستطیل بزرگ تر سهم ( i شکل ٤ 9 مستطیل کوچک تر سهم ب( مجموع باال که با نماد )p U)f. و یا نماد ساده شده U نشان داده میشود چنین تعریف U = f )u ( + f )u ( f )u ( میگردد. U = f (u ) i i در شکل زیر یک حاصل جمع پایین )سمت راست( و یک حاصل جمع باال )سمت چپ( برای یک تابع نزولی نشان داده شده است. مساحت مستطیل های رنگی به صورت مثبت و مساحت مستطیل های با رنگ آبی هاشور زده شده به صورت منفی در مقدار انتگرال لحاظ خواهند شد. y = f() = U = l = l 0 = U = U = U 0 = l = l y = f() )الف( )ب( شکل ٤ ١0 الف( یک مجموع پایین و ب( یک مجموع باال را برای یک تابع نزولی نشان می دهند. ناحیه های رنگی سهم های مثبت و ناحیه های آبی سهم های منفی به مقدار مجموع ها می دهند. L حرف اول Lower به معنی پایین و U حرف اول Upper به معنی باال می باشد. 9